Question

18．如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）设CD=1，求三棱锥A-BFE的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AB⊥CD，DC⊥BC，由此能证明DC⊥平面ABC．
（2）三棱锥A-BFE的体积V_A-BFE=V_F-ABE=$\frac{1}{3}×EF×{S}_{△ABE}$，由此能求出结果．

解答 证明：（1）在图甲中，∵AB=BD，且∠A=45°，
∴∠ADB=45°，∠ABC=90°，即AB⊥BD．
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，
且平面ABD∩平面BDC=BD，
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，
∵AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC．
（2）∵CD=1，点E、F分别为棱AC、AD的中点，
∴EF∥CD，且EF=$\frac{1}{2}CD$=$\frac{1}{2}$，AB=BD=2，BC=$\sqrt{3}$，
S_△ABE=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵DC⊥平面ABC，∵EF⊥平面ABE，
∴三棱锥A-BFE的体积：
V_A-BFE=V_F-ABE=$\frac{1}{3}×EF×{S}_{△ABE}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．