Question

4．如果双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一个焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2则此双曲线的方程$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$．

Answer 1

分析 利用双曲线的焦点到渐近线的距离，求出b，离心率求出c，然后求解b，即可得到双曲线方程．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一个焦点（c，0）到渐近线bx+ay=0的距离为3，
可得：3=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，b=3，离心率为2，可得：$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}=4$，解得：a=$\sqrt{3}$，
所求双曲线方程为：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{9}=1$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．