Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是AD₁、BD和B₁C的中点，求证：
（1）MN∥平面CC₁D₁D．
（2）平面MNP∥平面CC₁D₁D．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据面面平行的判定定理证明即可．

解答： 证明：（1）连接AC，CD₁，
∵ABCD是正方形，N是BD中点，
∴N是AC中点，
又∵M是AD₁中点，
∴MN∥CD₁，
∵MN?平面CC₁D₁D，CD₁?平面CC₁D₁D，
∴MN∥平面CC₁D₁D；
（2）连接BC₁，C₁D，
∵B₁BCC₁是正方形，P是B₁C的中点，
∴P是BC₁中点，
又∵N是BD中点，
∴PN∥C₁D，
∵PN?平面CC₁D₁D，CD₁?平面CC₁D₁D，
∴PN∥平面CC₁D₁D，
由（1）得MN∥平面CC₁D₁D，且MN∩PN=N，
∴平面MNP∥平面面CC₁D₁D．

点评：本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，是一道中档题．