Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AC⊥AB，O，E分别为BC，AB的中点．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=SC=

3

，
（Ⅰ）求证：平面SCB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求三棱锥S-ACD的体积；
（Ⅲ）求二面角S-AC-B的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结SE，由已知得SO⊥BC，SE⊥AB，OE∥AC，从而OE⊥AB，从而AB⊥平面SOE，AB⊥SO，由此能证明平面SBC⊥平面ABCD．
（Ⅱ）由BC=2

2

，AB=2，∠ABC=45°，得SO=1，OE=1，AC=2．由此能求出三棱锥S-ACD的体积的求法．
（Ⅲ）取AC的中点F，连结SF、OF，由已知得OF⊥AC，∠SFO即为二面角S-AC-B的平面角，由此能求出二面角S-AC-B的大小．

解答： （Ⅰ）证明：连结SE，∵O、E分别为BC，AB的中点，SA=SB=SC，
∴SO⊥BC，SE⊥AB，OE∥AC．
∵AC⊥AB，∴OE⊥AB．
∵SE⊥AB，AE∩OE=E，∴AB⊥平面SOE，∴AB⊥SO，
∴SO⊥BC，AB∩BC=B，∴SO⊥底面ABCD．
∵SO⊆底面SBC，∴平面SBC⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：∵SA=SB=SC=

3

，
BC=2

2

，AB=2，∠ABC=45°，
∴SO=1，OE=1，AC=2．
∴V_S-ACD=

1

3

×

1

2

×2×2×1=

2

3

．
（Ⅲ）解：取AC的中点F，连结SF、OF．
∵SA=SC，SF⊥AC，SF=

2

．
∵O，F分别为BC，AC的中点，∴OF∥AB，OF=

1

2

AB=1，
∵AC⊥AB，∴OF⊥AC，∠SFO即为二面角S-AC-B的平面角．
在Rt△SOF中，SF=

2

，SO=OF=1，∴∠SFO=45°．
∴二面角S-AC-B的大小为45°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．