Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB、AD的中点，
（1）A₁C₁与B₁C所成角的大小是

 

；
（2）A₁C₁与EF所成角的大小是

 

；
（3）A₁C与AD₁所成角的大小是

 

；
（4）AD₁与EF所成角的大小是

 

；
（5）BD₁与CE所成角的余弦值是

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：利用正方体的结构特征、异面直线所成的角的概念和向量法求解．

解答： 解：（1）∵A₁C₁∥AC，
∴A₁C₁与B₁C所成角为∠ACB₁，
∵△ACB₁是等边三角形，
∴∠ACB₁=60°，
∴A₁C₁与B₁C所成角的大小是60°．
（2）∵A₁C₁∥AC，EF∥BD，
AC⊥BD，∴A₁C₁⊥EF，
∴A₁C₁与EF所成角的大小90°；
（3）设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A₁（2，0，2），C（0，2，0），A（2，0，0），D₁（0，0，2），

A1C

=（-2，2，-2），

AD1

=（-2，0，2），
cos＜

A1C

，

AD1

＞=

4+0-4

12 • 4

=0，
∴A₁C与AD₁所成角的大小是90°．
（4）∵EF∥BD，BD∥B₁D₁，
∴AD₁与EF所成角为∠AD₁B₁，
∵△AD₁B₁为等边三角形，
∴∠AD₁B₁=60°，
∴AD₁与EF所成角的大小是60°；
（5）B（2，2，0），D₁（0，0，2），
C（0，2，0），E（2，1，0），

BD1

=（-2，-2，2），

CE

=（2，-1，0），
∴|cos＜

BD1

，

CE

＞|=|

-4+2+0

12 • 5

|=

15

15

．
∴BD₁与CE所成角的余弦值是

15

15

．
故答案为：60°；90°；90°；60°；

15

15

．

点评：本题考查异面直线所成的角的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．