Question

已知函数f（x）=x²+2|x-a|（a＞0），若f（x）在（-1，1）上的最小值为g（a）．
（1）求g（a）；
（2）证明：当x∈[-1，1]时，恒有f（x）≤g（a）+4．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）讨论去掉绝对值号，再讨论a的不同取值范围从而得到g（a）；
（2）结合（1）可求f（x）在[-1，1]上的最大值，说明最大值不大于g（a）+4即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2|x-a|=

x2+2x-2a，x≥a x2-2x+2a，x≤a

，
又∵a＞0，
∴①0＜a＜1时，
g（a）=f（x）_min=f（a）=a²；
②a≥1时，f（x）在（-1，1）上单调递减，无最小值；
综上所述，g（a）=a²，（0＜a＜1）
（2）证明：由（1）知，0＜a＜1，
又∵f（-1）=3+2a，f（1）=3-2a；
则f（x）≤3+2a，
又∵g（a）+4-（3+2a）=a²+4-（3+2a）=a²+1-2a=（a-1）²＞0，
∴恒有f（x）≤g（a）+4．

点评：本题考查了函数中绝对值符号的去除方法，同时考查了函数最值的求法及恒成立问题的证明，属于中档题．