Question

已知数列{a_n}中，a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：数列{a_n}中，a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，两边同时乘以3ⁿ⁺¹，得3n+1an+1=3nan+(

3

2

)n+1，从而3ⁿ⁺¹a_n+1-3ⁿan=（

3

2

）ⁿ⁺¹，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：∵数列{a_n}中，a₁=

5

6

，a_n+1=

1

3

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，
两边同时乘以3ⁿ⁺¹，得3n+1an+1=3nan+(

3

2

)n+1，
从而3ⁿ⁺¹a_n+1-3ⁿan=（

3

2

）ⁿ⁺¹，
从而有：
3ⁿa_n-3ⁿ⁺¹a_n-1=（

3

2

）ⁿ，
3ⁿ⁺¹a_n-1-3ⁿ⁺²a_n-2=（

3

2

）ⁿ⁺¹，
3²a₂-3a₁=（

3

2

）²，
3a₁=

5

2

，
累加得3ⁿa_n=3（

3

2

）ⁿ-2，
故a_n=

3

2n

-

2

3n

．
综上，数列{a_n}的通项公式为a_n=

3

2n

-

2

3n

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．