题目内容
19．函数y=$\frac{4{x}^{2}+2x+5}{{x}^{2}+x+1}$（x＞1）的最小值是$\frac{16-2\sqrt{7}}{3}$．分析 由y=$\frac{4{x}^{2}+2x+5}{{x}^{2}+x+1}$，得到（4-y）x2+（2-y）x+5-y=0，即关于x的方程由大于1的根，方程根的关系即可求出y的范围，即可求出y的最小值．
解答 解：∵y=$\frac{4{x}^{2}+2x+5}{{x}^{2}+x+1}$，
∴yx2+yx+y=4x2+2x+5，
∴（4-y）x2+（2-y）x+5-y=0，
当y=4时，此时x=$\frac{1}{2}$，不满足题意，
当y≠4时，
∵x＞1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=（2-y）^{2}-4（4-y）（5-y）≥0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{y-2}{4-y}＞2}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=\frac{4-y}{5-y}＞1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{16-2\sqrt{7}}{3}$≤y＜4，
故y的最小值为$\frac{16-2\sqrt{7}}{3}$，
故答案为：$\frac{16-2\sqrt{7}}{3}$
点评 本题考查了利用判别式法，求函数的值域，属于中档题．
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