Question

10．若定义在R上的函数f（x），满足f（x+2）=f（x），且当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x-1），x＞1}\\{{2}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-4，5]内的零点的个数为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 由题意可得f（x）的周期为2，x∈[-1，1]时，f（x）=x²，且本题即求函数f（x）的图象和函数g（x）的图象在区间[-4，5]内交点的个数，数形结合可得结论．

解答 解：∵f（x+2）=f（x），∴f（x）的周期为2．
当x∈[-1，1]时，f（x）=x²，
函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（x-1），x＞1}\\{{2}^{x}，x≤1}\end{array}\right.$，
则函数h（x）=f（x）-g（x）
在区间[-4，5]内零点的个数，
即函数f（x）的图象（黑色部分）和函数g（x）
的图象（红色部分）在区间[-4，5]内交点的个数，
如图所示：
故函数f（x）的图象和函数g（x）的图象
在区间[-4，5]内交点的个数为8，
故选：B．

点评 本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．