Question

4．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，且f（-4）=-2，当x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂时，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，则下列命题错误的是（　　）

• A． f（2016）=-2
• B． 函数y=f（x）的一条对称轴为x=-6
• C． 函数y=f（x）在[-8，-6]上为减函数
• D． 函数y=f（x）在[-9，9]上有4个根

Answer 1

分析 逐项判断各项正误．正确把所给条件进行变形是解决本题的关键．

解答 解：由f（x+4）=f（x）+f（2）可得f（2）=f（-2+4）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数．故有f（2016）=f（-4）=f（0）-f（2）=-2，故A正确；
由f（x+4）=f（x）得f（-x）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）的一条对称轴为x=2，又其周期为4，所以x=2-8=6也是其图象的对称轴，故B正确；
∵当x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂时，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，∴函数f（x）在[0，2]上为增函数，又其周期为4，故在[-8，-6]上也为增函数，故C错误；
由f（-4）=f（0）=-2，且函数在[0，2]上递增，故在[0，2]上有且只有f（2）=0，∵f（x）是偶函数，且周期为4，∴在区间[-9，9]上有且只有f（-2）=f（2）=f（6）=f（-6），故函数f（x）在[-9，9]上有4个根，故D正确．
故答案选C．

点评 本题考查函数的基本性质，属于较难题．