Question

7．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x+1，}&{x＜1}\\{{x^2}-6x+10，}&{x≥1}\end{array}}\right.$，关于a的不等式f（a）-ta+2t-2＞0的解集是（a₁，a₂）∪（a₃，+∞），若a₁a₂a₃＜0，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （-3，4）
• B． $（\frac{1}{2}，4）$
• C． $（-2，\frac{1}{2}）$
• D． （-3，-2）

Answer 1

分析 由题意，a₁＜0，0＜a₂＜1，a₃＞1，再分类讨论，结合不等式（a）-ta+2t-2＞0的解集是（a₁，a₂）∪（a₃，+∞），求出实数t的取值范围．

解答 解：由题意，a₁＜0，0＜a₂＜1，a₃＞1，
a＜1，不等式为4a+1-ta+2t-2＞0，∴a（4-t）＞1-2t，∴4-t＞0，∴t＜4；
a≥1，不等式为a²-6a+10-ta+2t-2＞0，∴f（1）=1-6+10-t+2t-2＞0，∴t＞-3，
故选A．

点评 本题考查分段函数，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．