Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P（$\frac{1}{2}$，1），倾斜角α=$\frac{π}{6}$．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）求直线l的参数方程及圆C的直角坐标方程；
（2）设直线l与圆C交于点A，B，求|PA|•|PB|．

Answer 1

分析 （1）根据直线经过的点的坐标及直线的倾斜角，求出直线的参数方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法，可得圆C的直角坐标方程．
（2）设A，B对应的参数为t₁和t₂，以直线l的参数方程代入圆的方程整理得到t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{7}{4}$=0，由|PA|•|PB|=|t₁t₂|求出点P到A、B两点的距离之积．

解答 解：（1）直线l经过点P（$\frac{1}{2}$，1），倾斜角α=$\frac{π}{6}$，
∴参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），（3分）
ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）=2cosθ+2sinθ．
故圆的直角坐标方程为x²+y²-2x-2y=0．…（6分）
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²-2x-2y=0得t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{7}{4}$=0            …（9分）
设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则${t_1}{t_2}=-\frac{7}{4}$
∴|PA|•|PB|=$|{{t_1}•{t_2}}|=\frac{7}{4}$．…（12分）

点评 本题考查直线的参数方程以及参数的几何意义，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义是解题的关键．