Question

已知一个正三棱锥PABC的正视图如图所示，若AC=BC=

3

2

，PC=

6

，则此正三棱锥的表面积为

 

，该正三棱锥的内切球体积为

 

．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：求正三棱锥的表面积即求三个侧面面积与底面面积的和，故求解本题需要求出底面三角形的边长，侧面上的侧高；正三棱锥的内切球的半径为

1

4

×

6

=

6

4

，可得内切球体积．

解答： 解：由题设条件及主视图知底面三角形的边长是3，顶点到底面的距离是

6

，
故底面三角形各边上的高为3×

3

2

=

3 3

2

，
令顶点P在底面上的投影为M，由正三棱锥的结构特征知M到三角形各边中点的距离是底面三角形高的

1

3

，为

3

2

，
故侧高为

6+ 3 4

=

3 3

2

，
故此正三棱锥的表面积为3×

1

2

×

3 3

2

×3+

1

2

×

3 3

2

×3=9

3

；
正三棱锥的内切球的半径为

1

4

×

6

=

6

4

，内切球体积为

4

3

π×(

6

4

)3=

3 6

4

π．
故答案为：9

3

，

3 6

4

π．

点评：本题考点是由三视图求面积与体积，三视图的作图规则是主视图与俯视图长对正，主视图与侧视图高平齐，侧视图与俯视图是宽相等，本题是考查利用三视图的作图规则把三视图中的数据还原到原始图形中来，求面积与体积，做题时要注意正确利用三视图中所提供的信息．