Question

在R上定义运算?：x?y=x（l-y），若对任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-3）
• B、（-∞，7]
• C、（-∞，1]
• D、（-∞，1]∪[7，+∞）

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：依题意，由新定义：x?y=x（l-y）可得，a≤

x2-x+2

x-2

=

[(x-2)+2]2-(x-2)

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+3（x＞2）恒成立，构造函数f（x）=（x-2）+

4

x-2

+3（x＞2），利用基本不等式可求得f（x）_min，从而可得实数a的取值范围．

解答： 解：由（x-a）?x≤a+2，得（x-a）（1-x）≤a+2，即a（x-2）≤x²-x+2，
因为对任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，
所以，a≤

x2-x+2

x-2

=

[(x-2)+2]2-(x-2)

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+3（x＞2）恒成立，
令f（x）=（x-2）+

4

x-2

+3（x＞2），
则a≤f（x）_min，因为对任意x＞2，f（x）=（x-2）+

4

x-2

+3≥2

(x-2)• 4 x-2

+3=7，当且仅当x-2=

4

x-2

，即x=4时取“=”．
所以，a≤7．
故选：B．

点评：本题考查新定义运算“?”，考查不等式的解法及“双钩”函数的性质及其应用，考查等价转化思想与恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．