Question

3．已知圆C：x²+y²-8x-4y+4=0及直线l：（2m+1）x+（m-1）y=7m-1（m∈R）．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C一定相交；
（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）化直线系方程为m（2x+y-7）+x-y+1=0，联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$求得直线所过定点坐标，代入圆的方程验证得答案；
（2）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，画图可得当直线与CM垂直时，直线l与圆C所截得的弦长的最短，由垂径定理求得弦长，再由直线方程的点斜式求得直线方程．

解答 证明：（1）化直线l：（2m+1）x+（m-1）y=7m-1为m（2x+y-7）+x-y+1=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴直线l过定点（2，3），
∵2²+3²-8×2-4×3+4=-11＜0，
∴点（2，3）在圆C内部，则不论m取什么实数，直线l与圆C一定相交；
解：（2）化圆C：x²+y²-8x-4y+4=0为（x-4）²+（y-2）²=16，
圆心坐标C（4，2），圆的半径r=4，
如图，直线l过定点M（2，3），
当直线l垂直于CM时，直线l被圆解得的弦长最短，
∵|CM|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（2-3）^{2}}=\sqrt{5}$，r=4，
∴弦|AB|=$2\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}=2\sqrt{11}$．
${k}_{CM}=\frac{3-2}{2-4}=-\frac{1}{2}$，
∴所求直线方程为y-3=2（x-2），即2x-y-1=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了直线系方程的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是中档题．