Question

15．若x，y满足方程x²+（y-1）²=1，不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是[$\sqrt{2}$-1，+∞）；
若x，y满足方程x²+（y-1）²=1，x+y+c=0，则实数c的取值范围是[$-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1$]．

Answer 1

分析 x+y+c大于等于0，即要-c小于等于x+y恒成立，即-c小于等于x+y的最小值，由x与y满足的关系式为圆心为（0，1），半径为1的圆，可设x=cosα，y=1+sinα，代入x+y，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域可得出x+y的最小值，即可得到实数c的取值范围；同理求出x+y的最大值，即可得到满足x+y+c=0的实数c的取值范围．

解答 解：∵实数x，y满足x²+（y-1）²=1，
∴设x=cosα，y=1+sinα，
则x+y=cosα+1+sinα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1，
∵-1≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1的最小值为1-$\sqrt{2}$，
根据题意得：-c≤1-$\sqrt{2}$，即c≥$\sqrt{2}$-1，
则实数c的取值范围是[$\sqrt{2}$-1，+∞）；
由-1≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，得$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）+1∈[1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]，
即-c∈[1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]，
则c∈[$-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1$]．
故答案为：[$\sqrt{2}$-1，+∞）；[$-1-\sqrt{2}，\sqrt{2}-1$]．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的参数方程，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及不等式恒成立满足的条件，是中档题．