Question

18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过椭圆C上一点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$=$\overrightarrow{0}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²．解出即可得出；
（Ⅱ）由题意得点Q（2，0），设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t²）y²+4ty-2=0，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²．
解得a²=6，b²=c²=3，则椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{6}$=$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）由题意得点Q（2，0），
设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\overrightarrow{QA}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{QB}$=（x₂-2，y₂），
由3$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$=$\overrightarrow{0}$，得3y₁+y₂=0，
 y₁+y₂=-2y₁，y₁y₂=-3${y}_{1}^{2}$，得到$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{4}{3}$（*）
将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t²）y²+4ty-2=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-4t}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{-2}{2+{t}^{2}}$，代入（*）式，解得：t²=$\frac{2}{5}$，
∴直线l的方程为：y=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$（x-2）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．