Question

12．已知函数f（x）=x³+ax²-a²x-1，a＞0．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，求a的取值范围；
（3）若存在x₀，使得x₀既是函数f（x）的零点，又是函数f（x）的极值点，请写出此时a的值．（只需写出结论）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，解关于a的不等式即可；
（3）由（2）x=-a是f（x）的零点，代入f（x）=0，求出a的值即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=x³+2x²-4x-1，
f′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{3}$或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜$\frac{2}{3}$，
∴f（x）在（-∞，-2）递增，在（-2，$\frac{2}{3}$）递减，在（$\frac{2}{3}$，+∞）递增；
（2）f′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{3}$或x＜-a，令f′（x）＜0，解得：-a＜x＜$\frac{a}{3}$，
∴f（x）在（-∞，-a）递增，在（-a，$\frac{a}{3}$）递减，在（$\frac{a}{3}$，+∞）递增，
①$\frac{a}{3}$≤1即a≤3时，f（x）在[1，+∞）递增，
若关于x的不等式f（x）≤0在[1，+∞）上有解，
只需f（x）_min=f（1）=a（1-a）≤0，解得：a≥1，
故1≤a≤3；
②$\frac{a}{3}$＞1，即a＞3时，
f（x）在[1，$\frac{a}{3}$）递减，在（$\frac{a}{3}$，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（$\frac{a}{3}$）=-$\frac{5}{27}$a³-1＜0恒成立，
故a＞3，
综上，a≥1；
（3）由（2）得：x=-a是f（x）的零点，
故f（-a）=a³-1=0，解得：a=1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．