Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM、AN分别与椭圆C交于M、N两点，k_AM、k_AN分别为直线AM、AN的斜率，k_AM•k_AN=-

3

4

，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标；
（3）在（2）的条件下，求△AMN面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由等边三角形，得到a=2b，再由直线和圆相切的条件，得到5a=4b+6，解得a，b，即可得到椭圆方程；
（2）设出直线MN的方程，和M，N的坐标，把直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用k_AM•k_AN=-

3

4

，求得k，t的关系，进而可求得直线MN恒过定点；
（3）设直线MN：x=my-1，联立椭圆方程，消去x，运用韦达定理，再由△AMN面积为S=

1

2

|AQ|•|y₁-y₂|，代入化简整理，再由对勾函数的性质，即可得到最大值．

解答： （1）解：由于短轴的顶点与右焦点的距离为a，
则由短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，则a=2b，
又直线3x+4y+6=0与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切，
则d=

|0+4b+6|

32+42

=a，即有5a=4b+6，
解得，a=2，b=1．
则椭圆方程为：

x2

4

+y2=1；
（2）证明：设直线MN的方程为y=kx+t，M、N坐标分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由

y=kx+t x2+4y2=4

⇒（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．
判别式为64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）＞0，
∴x₁+x₂=-

8kt

1+4k2

，x₁x₂=

4t2-4

1+4k2

，
∵k_AM=

y1

x1+2

，k_AN=

y2

x2+2

，
∴k_AM•k_AN=

(kx1+t)(kx2+t)

(x1+2)(x2+2)

=

k2x1x2+kt(x1+x2)+t2

x1x2+2(x1+x2)+4

=-

3

4

，
将韦达定理代入，并整理得

t2-4k2

4t2-16kt+16k2

=-

3

4

，化简得，t²-3kt+2k²=0，
即有t=k或t=2k，则直线MN的方程为y=k（x+1）或y=k（x+2），
由于A（-2，0），则直线MN恒过定点Q（-1，0）；
（3）解：△AMN面积为S=

1

2

|AQ|•|y₁-y₂|，
设直线MN：x=my-1，联立椭圆方程，得到（4+m²）y²-2my-3=0，
则y₁+y₂=

2m

4+m2

，y₁y₂=

-3

4+m2

，
则S=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

( 2m 4+m2 )2+ 12 4+m2

=

2 3+m2

4+m2

=

2

3+m2 + 1 3+m2

令

3+m2

=u（u≥

3

），则u+

1

u

在[

3

，+∞）递增，当u=

3

，即有m=0，
则u+

1

u

取最小值

4 3

3

，此时S取得最大值2×

3

4 3

=

3

2

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆相切的条件，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．