Question

已知f（x）=x²+bln（x+1）其中b∈R．
（1）若对f（x）定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1），求b的值；
（2）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求b的取值范围；
（3）若b=-1，证明：对任意的正整数n，不等式

n

k=1

f（

1

k

）＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

都成立．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求f（x）=x²+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞），且f′（x）=2x+

b

x+1

，则由题意可得f′（1）=2+

b

2

=0，从而求b；
（2）由题意可得f′（x）=2x+

b

x+1

≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）恒成立，从而可解得，b≥

1

2

；
（3）令h（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，可证明x²-ln（x+1）＜x³，从而可证对任意的正整数n，不等式

n

k=1

f（

1

k

）＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

都成立．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+bln（x+1）的定义域为（-1，+∞），
f′（x）=2x+

b

x+1

，
又∵f（x）≥f（1），
∴f′（1）=2+

b

2

=0，
解得：b=-4；
（2）∵f′（x）=2x+

b

x+1

，
若使函数f（x）在其定义域内是单调函数，
∴f′（x）=2x+

b

x+1

≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）恒成立，
解得，b≥

1

2

．
（3）证明：令h（x）=f（x）-x³=x²-ln（x+1）-x³，
h′（x）=-3x²-

1

x+1

+2x=

-3x3-(x-1)2

x+1

＜0，
∴h（x）在[0，+∞）上是减函数，
又h（0）=0，
∴h（x）＜h（0）=0，
即x²-ln（x+1）＜x³，
令x=

1

k

＞0，
∴f（

1

k

）=

1

k2

-ln（1+

1

k

）＜

1

k3

，
∴

n

k=1

f（

1

k

）＜1+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了函数与数列之间的关系，属于中档题．