Question

如图，在三棱锥A-BCD中，BC=DC=AB=AD=2，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P-QCO体积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：设出AP，表示出三棱锥P-QCO体积的表达式，然后求解最值即可．

解答： 解：由题意，在三棱锥A-BCD中，BC=DC=AB=AD=2，BD=2，底面三角形BCD是正三角形，
又∵平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，
可得AO⊥平面BCD，∴△AOC是直角三角形，
并且可得BD⊥平面AOC，
设AP=x，（x∈（0，1）），
三棱锥P-QCO体积为：V=

1

3

S△POC•h，
h为Q到平面AOC的距离，h=xsin30°=

1

2

x，
V=

1

3

S△POC•h=

1

3

×

1

2

×

3

(

3

-x)×

1

2

x=

1

12

(3x-

3

x2)，
当x=

3

2

时，二次函数V=

1

12

(3x-

3

x2)取得最大值为：

3

16

故答案为：

3

16

．

点评：本题考查几何体的体积的最值的求法，正确路直线与平面垂直的判定定理以及平面余平米垂直的性质定理，表示出几何体的体积是解题的关键，考查转化思想以及计算能力．