Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x，若方程ax-a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、[0，2]
• C、（1，2）
• D、[1，+∞）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得可得函数f（x）是周期为2的周期函数，函数y=f（x）的图象和直线y=ax-a=a（x-1）有3个交点，数形结合可得a（3-1）＜2，且a（5-1）＞2，由此求得a的范围．

解答： 解：由f（x+2）=f（x），可得函数f（x）是周期为2的周期函数．
由方程ax-a-f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，
可得函数y=f（x）的图象（红色部分）和直线y=ax-a=a（x-1）（蓝色部分）有3个交点，
如图所示：
故有a（3-1）＜2，且a（5-1）＞2，
求得

1

2

＜a＜1，
故选：A．

点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．