Question

已知抛物y=x²-2mx-（m²+2m+1）
（1）求证：不论m取何值，抛物线必与x轴交于两点；
（2）若函数的定义域为{x|-1≤x≤1}，求函数的值域．

Answer 1

考点：函数的零点,函数的值域

专题：计算题,证明题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）由判别式化简配方，即可得证；
（2）求出对称轴x=m，讨论当m≤-1时，当m≥1时，当-1＜m＜0时，当0≤m＜1，区间和对称轴的关系，即可得到值域．

解答： （1）证明：由于y=x²-2mx-（m²+2m+1），
则判别式△=4m²+4（m²+2m+1）=4（2m²+2m+1）
=8（m+

1

2

）²+2＞0，
则不论m取何值，抛物线必与x轴交于两点；
（2）解：函数f（x）的定义域为{x|-1≤x≤1}，
对称轴x=m，
当m≤-1时，[-1，1]在对称轴的右边，为增区间，
则函数的值域为[f（-1），f（1）]即有[-m²，-m²-4m]；
当-1＜m＜1时，f（m）最小，且为-2m²-2m-1，
若m=0则f（-1）=f（1）=0，则值域为[-1，0]；
若0＜m＜1，则f（-1）＞f（1），则值域为[-2m²-2m-1，-m²]；
若-1＜m＜0时，则f（-1）＜f（1），则值域为[-2m²-2m-1，-m²-4m]；
当m≥1时，[-1，1]在对称轴的左边，为减区间，
则函数的值域为[f（1），f（-1）]即有[-m²-4m，-m²]．
综上，当m≤-1时，值域为[-m²，-m²-4m]；
当0≤m＜1，值域为[-2m²-2m-1，-m²]；
当-1＜m＜0时，值域为[-2m²-2m-1，-m²-4m]；
当m≥1时值域为[-m²-4m，-m²]．

点评：本题考查函数的值域，考查二次函数在闭区间上的值域，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．