Question

已知集合A={x|ax²+bx+1=0，a∈R，b∈R}，求：
（1）当b=2时，A中至多只有一个元素，求a的取值范围；
（2）当b=-2时，A中至少有一个元素，求a的取值范围；
（3）当a、b满足什么条件时，集合A为非空集合．

Answer 1

考点：函数的零点,元素与集合关系的判断

专题：计算题,函数的性质及应用,集合

分析：（1）A为空集，表示方程无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，若A中只有一个元素，
则方程ax²+2x+1=0有且只有一个实根我们易得到一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若A中只有一个元素，表示方程为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a的方程，即可求出满足条件的a值，以及两个不同的实根，利用判别式大于0，即可得到．
（3）若集合A为空集，求出a的范围，再求补集即可得到答案．

解答： 解：（1）若A是空集，
则方程ax²+2x+1=0无解，
此时△=4-4a＜0即a＞1，
若A中只有一个元素，
则方程ax²+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时方程为一元一次方程，满足条件，
当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1．
∴a=0或a=1．
则a的取值范围是：a=0或a≥1；
（2）当b=-2时，A中至少有一个元素，
即ax²-2x+1=0有且只有一个实根和两个不同的实根，
则有a=0或a≠0，△=0或a≠0，△＞0，
即有a=0，或a=1或a≠0且a＜1．
则a的取值范围是：a=0或a≤1；
（3）若集合A为空集合，
则ax²+bx+1=0无实数解，
即有a=0，b=0，或a≠0，△＜0．
即有a=0，且b=0，或b²＜4a，
故当a、b满足a≠0或b≠0或a≠0时，b²≥4a，时，集合A为非空集合．

点评：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，根据题目要求确定集合中方程根的情况，是解答本题的关键．