Question

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在直线l，使得OA⊥OB，O为坐标原点，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆右焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b²=a²-c²求出短半轴，则椭圆Γ的标准方程可求；
（Ⅱ）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时通过直接计算得到满足条件的直线不存在；斜率存在时，设出直线方程的点斜式，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A、B两点横纵坐标的积，代入

OA

•

OB

=0求得k的值，则直线方程可求．

解答： 解：（Ⅰ）设F（c，0），
∵抛物线y²=4x的焦点坐标为（1，0），且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y²=4x的焦点重合，∴c=1，
又e=

c

a

=

2

2

，得a=

2

，于是有b²=a²-c²=1．
故椭圆Γ的标准方程为

x2

2

+y2=1；
（2）假设存在直线l满足题意．
①当直线l为x=-1时，A( -1 ， 

2

2

 )，B( -1 ， -

2

2

 )，

OA

•

OB

=(-1，

2

2

)•(-1，-

2

2

)=1-

1

2

≠0，此时OA⊥OB不成立，与已知矛盾，舍去．
②设直线l的方程为y=k（x+1），代入

x2

2

+y2=1，消去y得，（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
∴

OA

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x₁x₂+y₁y₂
=(k2+1)x1x2+k2(x1+x2)+k2=(k2+1)

2k2-2

2k2+1

+k2

-4k2

2k2+1

 +k2=

k2-2

2k2+1

=0 ⇒k=±

2

 
∴直线l的方程为y=±

2

( x+1 )，
即

2

 x-y+

2

=0或

2

 x+y+

2

=0．

点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，解答直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线与圆锥曲线联立，化为关于x的一元二次方程后，利用一元二次方程根与系数的关系求解，是高考试卷中的压轴题．