Question

已知x₁、x₂为实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的两个虚根，且

x 2 1

x2

∈R，求

x1

x2

的值．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：求出实系数一元二次方程的两个虚根，根据

x 2 1

x2

∈R得到一元二次方程ax²+bx+c=0的系数之间的关系，代入两虚根后作比即可求得

x1

x2

的值．

解答： 解：∵x₁、x₂为实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的两个虚根，
∴x=

-b± 4ac-b2 i

2a

，
不妨设x₁=m+ni（m，n∈R），则x₂=m-ni，
由

x 2 1

x2

=

x13

|x1|2

，若

x 2 1

x2

∈R，则x13∈R，
即m³-3m²n+（3m²n-n³）i∈R，
∴3m²n=n³，
∵n≠0，
∴n²=3m²．
即4ac-b²=3b²，ac=b²．
∴x=

-b± 3 bi

2a

，
若x1=

-b+ 3 bi

2a

，则x2=

-b- 3 bi

2a

，

x1

x2

=-

1

2

-

3

2

i；
若x1=

-b- 3 bi

2a

，则x2=

-b+ 3 bi

2a

，

x1

x2

=-

1

2

+

3

2

i．

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查了学生的计算能力，是中档题．