Question

设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有f（x）+xf′（x）＜x，则不等式（x+2014）f（x+2014）+2f（-2）＞0的解集为（　　）

• A、（-∞，-2012）
• B、（-2012，0）
• C、（-∞，-2016）
• D、（-2016，0）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答： 解：由f（x）+xf′（x）＜x，x＜0，
即[xf（x）]′＜x＜0，
令F（x）=xf（x），
则当x＜0时，F'（x）＜0，
即F（x）在（-∞，0）上是减函数，
F（x+2014）=（x+2014）f（x+2014），F（-2）=（-2）f（-2），
F（x+2014）-F（-2）＞0，
∵F（x）在（-∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（-2）得，
∴x+2014＜-2，
即x＜-2016．
故选：C．

点评：本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．