题目内容
11．已知函数f（x）=x2-（3+2a）x+6a，其中a＞0．若有实数b使得$\left\{\begin{array}{l}{f（b）≤0}\\{f{（b}^{2}+1）≤0}\end{array}\right.$成立，则实数a的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[5，+∞）．分析 求出f（x）的零点，令b和b2+1介于两零点之间，列出不等式组解出．
解答 解：令f（x）=0得x2-（3+2a）x+6a=0，解得x=3或x=2a＞0，
∵b2+1-b=（b-$\frac{1}{2}$）2+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，∴b2+1＞b．
∵$\left\{\begin{array}{l}{f（b）≤0}\\{f{（b}^{2}+1）≤0}\end{array}\right.$，∴f（x）=0有两个不相等的正根，∴b＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a≤b}\\{{b}^{2}+1≤3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{3≤b}\\{{b}^{2}+1≤2a}\end{array}\right.$．
解得0＜a$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$或a≥5，
∴实数a的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[5，+∞）．
故答案为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[5，+∞）．
点评 本题考查了二次函数的零点与系数的关系，判断出b和b2+1的大小关系式关键．
练习册系列答案
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1．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：
甲校：
乙校：
（1）计算x，y的值；
（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；
（3）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．
参考数据与公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$
临界值表：
甲校：
| 分组 | [70，80） | [80，90） | [90，100） | [100，110） |
| 频数 | 3 | 4 | 8 | 15 |
| 分组 | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
| 频数 | 15 | x | 3 | 2 |
| 分组 | [70，80） | [80，90） | [90，100） | [100，110） |
| 频数 | 1 | 2 | 8 | 9 |
| 分组 | [110，120） | [120，130） | [130，140） | [140，150] |
| 频数 | 10 | 10 | y | 3 |
（2）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；
（3）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为两所学校的数学成绩有差异．
| 甲校 | 乙校 | 总计 | |
| 优秀 | |||
| 非优秀 | |||
| 总计 |
临界值表：
| P（K2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.010 |
| k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
6．若函数f（x）=$\frac{{2x}^{2}-a}{x-1}$（a＜2）在区间（1，+∞）上的最小值为6，则实数a的值为（ ）
| A． | 2 | B． | $\frac{3}{2}$ | C． | 1 | D． | $\frac{1}{2}$ |
△ABC中，D、E三等分BC，F为AC的中点，BF分别与AD、AE交于M、N．试求△AMN与△ABC面积之比．