Question

2．已知命题p：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立，命题q：函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增，若“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的性质求出命题的等价条件，结合复合命题真假之间的关系进行求解即可．

解答 解：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立．
当a=2时不等式等价为-4＜0成立，
当a≠2时，可得$\left\{\begin{array}{l}{a-2＜0}\\{△=4（a-2）^{2}+16（a-2）＜0}\end{array}\right.$，
解得-2＜a＜2，
综上-2＜a≤2．即p：-2＜a≤2，
函数y=log_a（1-2x）在定义域上单调递增，可得0＜a＜1，即q：0＜a＜1，
若“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题，
则p，q为一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a≤2}\\{a≥1或a≤0}\end{array}\right.$即1≤a≤2或-2＜a≤0，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞2或a≤-2}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，此时无解，
故实数a的取值范围是1≤a≤2或-2＜a≤0．

点评 本题考查复合命题的应用，利用指数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系是解决本题的关键．