Question

11．已知函数f（x）满足f（x）=f（$\frac{1}{x}$），当x∈[1，4]时，f（x）=lnx，若在区间x∈[$\frac{1}{4}$，4]内，函数g（x）=f（x）-ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是[$\frac{ln2}{2}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 作出f（x）与y=ax的函数图象，根据图象交点个数判断a的范围．

解答 解：当x∈[$\frac{1}{4}$，1]时，f（x）=f（$\frac{1}{x}$）=ln$\frac{1}{x}$，
作出f（x）在[$\frac{1}{4}$，4]上的函数图象如图所示：

∵g（x）=f（x）-ax在[$\frac{1}{4}$，4]上又3个交点，
∴f（x）与y=ax有3个交点，
若直线y=ax经过点（4，ln4），则a=$\frac{ln4}{4}$=$\frac{ln2}{2}$，
若直线y=ax与y=lnx相切，设切点为（x，y），则$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{y=lnx}\\{\frac{1}{x}=a}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=e}\\{y=1}\\{a=\frac{1}{e}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{ln2}{2}$≤a＜$\frac{1}{e}$．
故答案为：$[\frac{ln2}{2}，\frac{1}{e}）$．

点评 本题考查了方程的根与函数图象的关系，属于中档题．