Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n，且a_n=$\frac{{S}_{n}+n}{2}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）若数列{a_n+t}是等比数列，求t的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易得a_n=2a_n-1+1，∴a₂=3，a₃=7，依题意，得（3+t）²=（1+t）（7+t），解得t=1，
 （Ⅱ）由（Ⅰ），知当n≥2时，a_n+1=2（a_n-1+1），即数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得${a}_{n}+1=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，即可求通项．
（Ⅲ）由（Ⅱ），知b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}=\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，累加即可求和．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，由a₁=$\frac{{s}_{1}+1}{2}=\frac{{a}_{1}+}{2}$（n∈N^*），得a₁=1．
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=2a_n-n-2a_n-1+（n-1），
即a_n=2a_n-1+1，∴a₂=3，a₃=7，．
依题意，得（3+t）²=（1+t）（7+t），解得t=1，
当t=1时，a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，
即数列{a_n+1}是等比数列，故实数t的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知当n≥2时，a_n+1=2（a_n-1+1），
又因为a₁+1=2，
所以数列{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以${a}_{n}+1=2×{2}^{n-1}={2}^{n}$，
∴a${\;}_{n}={2}^{n}-1$（n∈N⁺）．
（Ⅲ）由（Ⅱ），知b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}=\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
则T_n=$\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}+\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}+…+$$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$

点评 本题考查了数列的递推式、等比数列的判定、构造法求数列通项，考查了裂项求和，属于中档题．