Question

2．在如图所示的多面体ABCDEF中，ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，四边形ADEF为等腰梯形，EF∥AD，已知AE⊥EC，AB=AF=EF=2，AD=CD=4．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面ADEF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD中点M，连接EM，只需证明AE⊥CD，CD⊥AD，即可得CD⊥平面ADEF．
（Ⅱ）作EO⊥AD，可得EO=$\sqrt{3}$，连接AC，则V_ABCDEF=V_C-ADEF+V_F-ABC，

解答 解：（Ⅰ）证明：取AD中点M，连接EM，
∵AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM=$\frac{1}{2}$AD，∴AE⊥DE，
又AE⊥EC，DE∩EC=E∴AE⊥平面CDE，
∵CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
又CD⊥AD，AD∩AE=A，∴CD⊥平面ADEF．
（Ⅱ）由（1）知 CD⊥平面ADEF，CD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面ADEF；
作EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，EO=$\sqrt{3}$，连接AC，则V_ABCDEF=V_C-ADEF+V_F-ABC，
${V_{C-ADEF}}=\frac{1}{3}•{S_{ADEF}}•CD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{3}×4=4\sqrt{3}$，${V_{F-ABC}}=\frac{1}{3}•{S_{△ABC}}•OE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×4×\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
∴${V_{ABCDEF}}=4\sqrt{3}+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}=\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了空间线线、线面、面面位置关系，几何体体积计算，属于中档题，