Question

7．已知0＜a＜1，f（a^x）=x+$\frac{1}{x}$
（1）求f（x）的解析式，并求出f（x）的定义域
（2）判断并证明f（x）在[$\frac{1}{a}$+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）换元，令a^x=t（t＞0），可得到x=log_at，从而得出$f（t）=lo{g}_{a}t+\frac{1}{lo{g}_{a}t}$，将t换上x即可得出f（x）的解析式，并可求出f（x）的定义域；
（2）求导数$f′（x）=\frac{1}{xlna}[1-\frac{1}{（lo{g}_{a}x）^{2}}]$，根据0＜a＜1和x$≥\frac{1}{a}$便可判断导数符号，从而判断出f（x）在$[\frac{1}{a}，+∞）$上的单调性．

解答 解：（1）设a^x=t（t＞0），x=log_at；
∴$f（t）=lo{g}_{a}t+\frac{1}{lo{g}_{a}t}$；
∴$f（x）=lo{g}_{a}x+\frac{1}{lo{g}_{a}x}$，x＞0，且x≠1；
即f（x）的定义域为{x|x＞0，且x≠1}；
（2）$f′（x）=\frac{1}{xlna}-\frac{1}{xlna•（lo{g}_{a}x）^{2}}$=$\frac{1}{xlna}[1-\frac{1}{（lo{g}_{a}x）^{2}}]$；
∵$0＜a＜1，x≥\frac{1}{a}$；
∴$lo{g}_{a}x≤lo{g}_{a}\frac{1}{a}=-1$；
∴$（lo{g}_{a}x）^{2}≥1$；
∴$\frac{1}{（lo{g}_{a}x）^{2}}≤1$，$1-\frac{1}{（lo{g}_{a}x）^{2}}≥0$；
又x＞0，lna＜0；
∴f′（x）≤0；
∴f（x）在$[\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减．

点评 考查换元法求函数的解析式，函数定义域的概念及求法，根据导数符号判断一个函数单调性的方法，不等式的性质，指数式和对数式的互化，以及复合函数导数的求法．