题目内容
2．在△ABC中，设$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$-\sqrt{3}$，则AB的长为（ ）| A． | $\sqrt{7+2\sqrt{3}}$ | B． | $\sqrt{7-2\sqrt{3}}$ | C． | $\sqrt{7-\sqrt{3}}$ | D． | 7-2$\sqrt{3}$ |
分析 根据条件可以得到$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$，即得到$cosC=-\frac{1}{2}$，这样在△ABC中，$AC=\sqrt{3}，BC=2$，从而根据余弦定理即可求出AB的长．
解答 解：如图，
$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}，\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\sqrt{3}$；
∴$2•\sqrt{3}•cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\sqrt{3}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=-\frac{1}{2}$；
即cos$C=-\frac{1}{2}$；
∴由余弦定理得，$A{B}^{2}=4+3-2•2•\sqrt{3}•（-\frac{1}{2}）=7+2\sqrt{3}$；
∴$AB=\sqrt{7+2\sqrt{3}}$．
故选：A．
点评 考查向量数量积的计算公式，向量夹角的概念，以及余弦定理．
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