Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为6的等边三角形．若该三棱柱的五个面与球O₁都相切，六个顶点都在球O₂的球面上，则球O₂的体积为（　　）

• A、4

  3

  π
• B、32

  3

  π
• C、

  20 5

  3

  π
• D、20

  15

  π

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：球

分析：根据题意，内切球的直径等于正三棱柱的高，半径等于底面正三角形的内切圆半径，由此结合底面的边长为6算出球半径r=

3

，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．

解答：解：∵正三棱柱的三个侧面和两个底面都与一个球相切，
∴球的直径等于三棱柱的高，且等于底面正三角形的内切圆直径
根据底面边长为6，算出内切圆半径r=

3

．
棱柱的高为：2

3

．
由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：2

3

；
所以外接球的半径为：

(2 3 )2+( 3 )2

=

15

．
所以外接球的体积为：V₂=

4π

3

r³=

4π

3

×(

15

)3=20

15

π．
故选：D．

点评：本题给出正三棱柱有一个内、外切（接）球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．