Question

设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AD

•

AB

=0，用S₁、S₂、S₃分别表示△ABC、△ACD、△ABD的面积，则S₁+S₂+S₃的最大值是（　　）

• A、

  1

  2

• B、2
• C、4
• D、8

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面向量数量积的运算

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB，AC，AD两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三度，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．

解答：解：设AB=a，AC=b，AD=c，
因为AB，AC，AD两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a²+b²+c²=4R²=4
所以S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=

1

2

（ab+ac+bc ）≤

1

2

（a²+b²+c²）=2
即最大值为：2
故选：B．

点评：本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．