Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，求a_n通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由a₁=1，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，令n=1，求得a₂的值，a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，得a_na_n-1=（

1

2

）^n-1，两式相比，即得

an+1

an-1

=

1

2

，从而求得数列{a_n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，运用等比数列的通项公式即可得到数列{a_n}通项．

解答： 解：∵a_na_n+1=（

1

2

）ⁿ，令n=1，则a₂=

1

2

，
∴当n＞1时，a_na_n-1=（

1

2

）^n-1，
两式相比，∴

an+1

an-1

=

1

2

，
∴数列{a_n}的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，
则有a_n=

( 1 2 ) n-1 2 ，n为奇数 ( 1 2 ) n 2 ，n为偶数

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．