Question

用数学归纳法证明：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

＞

25

24

（n∈N₊）

Answer 1

考点：数学归纳法,综合法与分析法(选修）

专题：点列、递归数列与数学归纳法,推理和证明

分析：先证明n=1时，不等式成立，再假设n=k时，不等式成立，进而证明出n=k+1时，不等式也成立，即可得到结论．

解答： 证明：（1）当n=1时，左边=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

=

26

24

＞

25

24

，不等式成立；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

＞

25

24

．
则当n=k+1时，
左边=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞

25

24

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

，
∵

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

=

1

3k+2

+

1

3k+4

-

2

3k+3

=

6(k+1)

9k2+18k+8

-

2

3k+3

＞0
∴

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

＞

25

24

这就是说当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切n∈N₊，结论成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．