Question

6．已知对k∈R，直线y-kx-1=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1恒有公共点，则实数m的取值范围（　　）

• A． （1，4]
• B． [1，4）
• C． [1，4）∪（4，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 方法一：由直线恒过点（0，1），当点（0，1）在椭圆内部时，直线与椭圆恒有公共点，求得m的取值范围，且m≠4，即可求得m的取值范围；
方法二：将直线方程代入椭圆方程，由△≥0，且m≠4，即可求得m的取值范围．

解答 解：方法一：直线y-kx-1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点，
而点（0，1）在y轴上，则$\frac{1}{m}$≤1且m＞0，得m≥1，
而根据椭圆的方程中有m≠4，
故m的范围是[1，4）∪（4，+∞），
故选C．
方法二：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{m}=1}\end{array}\right.$化为（m+4k²）x²+8kx+4-4m=0，
∵直线y-kx-1=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1恒有公共点，
∴△=64k²-4（m+4k²）（4-4m）≥0，
化为m²+（4k²-1）m≥0，
由于m≠0，上式化为：m≥1-4k²，
由于上式对k∈R恒成立，∴m≥1．
由椭圆的定义可知：m≠4．
综上可得m的取值范围是：[1，4）∪（4，+∞）．
故选C．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆的交点问题，考查判别式法应用，考查计算能力，属于中档题．