Question

16．过（3，2）点的直线与坐标轴的正半轴交于A，B两点，△AOB面积的最小值12．

Answer 1

分析 由题意设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a，b＞0），可得$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$=1，由基本不等式可得ab≥24，可得△AOB的面积S≥12，即可得出结论．

解答 解：由题意设直线的截距式方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}$=1（a，b＞0），
∵直线过（3，2），∴$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$=1，
∴1=$\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{\frac{6}{ab}}$，∴ab≥24，
当且仅当$\frac{3}{a}=\frac{2}{b}=\frac{1}{2}$即a=6且b=4时取等号，
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$ab≥12，
∴△AOB面积的最小值为12，
故答案为：12．

点评 本题考查了直线方程的应用以及基本不等式的应用问题，解题时应根据题意，求出直线方程满足的条件，利用基本不等式求出结论，是综合题．