Question

数列{a_n}中，S_n=2a_n+（-1）ⁿ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当m＞4时，证明

1

a4

+

1

a8

+…+

1

am

＜

7

8

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,不等式

分析：（1）①当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1；
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简可得a_n+

2

3

（-1）ⁿ=2（a_n-1+

2

3

（-1）^n-1），则可得{a_n+

2

3

（-1）ⁿ}是以

1

3

为首项，2为公比的等比数列，从而求数列{a_n}的通项公式；
（2）设m=4n，n∈N^*，

1

am

=

1

1 3 •24n-1- 2 3

=

6

24n-4

=

3

2

（

1

22n-2

-

1

22n+2

）；利用放缩法可得

1

a4

+

1

a8

+…+

1

am

=

3

2

（

1

2

-

1

6

）+

3

2

（

1

14

-

1

18

）+

3

2

（

1

22n-2

-

1

22n+2

）
＜

3

2

（

1

2

-

1

6

）+

3

2

（

1

6

-

1

7

）+

3

2

（

1

n+4

-

1

n+5

），从而证明

1

a4

+

1

a8

+…+

1

am

＜

7

8

．

解答： 解：（1）由题意，
①当n=1时，a₁=2a₁-1，
解得a₁=1；
②当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n+（-1）ⁿ）-（2a_n-1+（-1）^n-1）
=2a_n-2a_n-1+2（-1）ⁿ，
∴a_n=2a_n-1-2（-1）ⁿ，
设a_n+a（-1）ⁿ=2（a_n-1+a（-1）^n-1），
则2a（-1）^n-1-a（-1）ⁿ=-2（-1）ⁿ，
解得，a=

2

3

，
则a_n=2a_n-1-2（-1）ⁿ可化为a_n+

2

3

（-1）ⁿ=2（a_n-1+

2

3

（-1）^n-1），
又∵a₁+

2

3

（-1）=1-

2

3

=

1

3

，
故{a_n+

2

3

（-1）ⁿ}是以

1

3

为首项，2为公比的等比数列，
则a_n=

1

3

•2^n-1-

2

3

（-1）ⁿ，对a₁=1也成立；
故a_n=

1

3

•2^n-1-

2

3

（-1）ⁿ．
（2）证明：设m=4n，n∈N^*，

1

am

=

1

1 3 •24n-1- 2 3

=

6

24n-4

=

3

2

（

1

22n-2

-

1

22n+2

）；
则

1

a4

+

1

a8

+…+

1

am

=

3

2

（

1

2

-

1

6

）+

3

2

（

1

14

-

1

18

）+

3

2

（

1

22n-2

-

1

22n+2

）
＜

3

2

（

1

2

-

1

6

）+

3

2

（

1

6

-

1

7

）+

3

2

（

1

n+4

-

1

n+5

）
=

3

4

-

3

2

•

1

n+5

＜

3

4

＜

7

8

．

点评：本题考查了数列的通项公式的求法，构造一个新数列的方法，同时考查了放缩法证明不等式，属于难题．