Question

如图，边长为8的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△ADE，△DCF，△EBF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C三点重合于点A，过A做AO⊥平面EFD于点O．

（1）证明：点O是△EFD的重心；
（2）求二面角A-EF-D的平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先根据已知条件，作EF的中点G，连结DG，AG，由于AE=AF，所以得到AG⊥EF
过A做AO⊥平面EFD于点O，进一步证得：EF⊥平面AGD，又由于AF⊥平面AED，所以AF⊥DE，同理：EO⊥DF，即点O是△EFD的垂心．
（2）首先说明∠AGD即为二面角A-EF-D的平面角，进一步解得：AE=AF=4，EF=4

2

，AG=2

2

，DG=8

2

-2

2

=6

2

，AD=8所，在△AGD中利用余弦定理：cos∠AGD=

AG2+GD2-AD2

2AG•GD

=

1

3

，最后转化成正切值．

解答： 证明：（1）边长为8的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△ADE，△DCF，△EBF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C三点重合于点A，
作EF的中点G，连结DG，AG，
由于AE=AF，
∴AG⊥EF，
∵过A做AO⊥平面EFD于点O，
∴EF⊥平面AGD，
又∵AF⊥平面AED，
∴AF⊥DE；
又∵AO⊥DE，
∴DE⊥平面AFO；
同理：EO⊥DF，
即点O是△EFD的垂心．
解：（2）由已知条件和（1）的部分结论∠AGD即为二面角A-EF-D的平面角，
根据正方形的边长8，
进一步解得：AE=AF=4，EF=4

2

，AG=2

2

，DG=8

2

-2

2

=6

2

，AD=8，
所以：在△AGD中，
利用余弦定理：
cos∠AGD=

AG2+GD2-AD2

2AG•GD

=

1

3

，
所以tan∠AGD=2

2

．

点评：本题考查的知识要点：折叠问题的应用，线面垂直的判定和性质的应用，二面角平面角的做法，余弦定理得应用及相关的运算问题，属于基础题型．