Question

设函数f（x）=lnx+

1

2

x²-bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为0．
（1）求b的值；
（2）设g（x）=x-

1

2

x²，若存在x∈[1，+∞），使得af（x）+（2a-1）g（x）＜

a

a-1

（a∈R且a≠1），求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）利用导数的几何意义即可得出b；
（2）对a分类讨论：当a≤

1

2

时，当

1

2

a＜1时，当a＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出a的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

+x-b（x＞0），
∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，
∴f′（1）=1+1-b=0，解得b=2．
（2）由于g（x）=x-

1

2

x²，
则令h（x）=af（x）+（2a-1）g（x）=alnx+

1-a

2

x²-x，
函数h（x）的定义域为（0，+∞），
∴h′（x）=

a

x

+（1-a）x-1=

1-a

x

(x-1)(x-

a

1-a

)．
①当a≤

1

2

时，则

a

1-a

≤1，
则当x＞1时，h′（x）＞0，
∴函数h（x）在（1，+∞）单调递增，
∴存在x₀≥1，使得h（x₀）＜

a

1-a

的充要条件是h（1）＜

a

1-a

，即

1-a

2

-1＜

a

a-1

，
解得-

2

-1＜a＜

2

-1；
②当

1

2

a＜1时，则

a

1-a

＞1，
则当x∈（1，

a

1+a

）时，h′（x）＜0，函数h（x）在（1，

a

1-a

）上单调递减；
当x∈（

a

1-a

，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在（

a

1-a

，+∞）上单调递增．
∴存在x₀≥1，使得h（x₀）＜

a

a-1

的充要条件是h（

a

1-a

）＜

a

a-1

，
而h（

a

1-a

）=aln

a

1-a

+

a2

2(1-a)

+

a

1-a

＞

a

1-a

，不符合题意，应舍去．
③若a＞1时，h（1）=

1-a

2

-1=

-1-a

2

＜

a

a-1

，成立．
综上可得：a的取值范围是（-

2

-1，

2

-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．