Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）与g（x）=log_a（-x+1）（a＞0且a≠1）．
（1）若函数f（x）=log_a（x+1）过点（7，3），求g（

7

8

）的值；
（2）当0＜a＜1时，解不等式2f（x）≥g（x）．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）过点（7，3），便说明该点满足函数解析式，所以带入解析式便可求出a．从而求出g（x），然后将

7

8

代入g（x）便求得g（

7

8

）．
（2）把f（x），g（x）带入不等式2f（x）≥g（x），在根据对数函数在0＜a＜1时的单调性得到不等式

(x+1)2

-x+1

≤3，为使函数f（x），g（x）有意义，再限制x：x+1＞0，且-x+1＞0，解这几个不等式，便得到原不等式的解．

解答： 解：（1）由题意得：3=log_a8，
∴a³=8，∴a=2；
∴g（

7

8

）=log2(-

7

8

+1)=log22-3=-3．
（2）解不等式2f（x）≥g（x），
即解2log_a（x+1）≥log_a（-x+1），即解loga(x+1)2≥loga(-x+1)；
∵0＜a＜1，∴对数函数y=log_ax是减函数；
∴由loga(x+1)2≥loga(-x+1)得

x+1＞0 -x+1＞0 (x+1)2≤-x+1

；
解得：-1＜x≤0；
∴不等式的解集是（-1，0]．

点评：理解函数曲线上的点的坐标与函数解析式的关系，第二问解不等式时，别忘了限制x使函数f（x），g（x）有意义．