Question

已知函数f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数．
（Ⅰ）实数m的取值集合为A，当m取值集合A中的最小值时，定义数列{a_n}：满足a₁=3，且a_n＞0，a_n+1=

-3f′(an)+9

（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）结论，若b₂=

(sn-2)•3n

4n•an

（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜

2

3

．

Answer 1

考点：数列的求和,利用导数研究函数的单调性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出f′（x）=-3x²+3，由此推导出数列{a_n}是以3为首项和公比的等比数列，从而得到an=3n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=

(3n-2)•3n

4n•an

=

3n-2

4n

，由此利用错位相减法能证明S_n＜

2

3

．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）=-3x²+m≥0在（0，1）上恒成立，即m≥3x²，解得m≥3，
∴实数m的取值集合A={m|m≥3}，∴m=3，
∴f′（x）=-3x²+3，
∵an+1=

-3f′(an)+9

，a_n＞0
∴an+1=

9an2

=3a_n，∴

an+1

an

=3，
∴数列{a_n}是以3为首项和公比的等比数列，故an=3n．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得b_n=

(3n-2)•3n

4n•an

=

3n-2

4n

，
∴Sn=

1

4

+

4

42

+

7

43

+…+

3n-2

4n

，①

1

4

Sn=

1

42

+

4

43

+

7

44

+…+

3n-2

4n+1

，②
①-②，得：

3

4

Sn=

1

4

+3(

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

)-

3n-2

4n+1

=

1

4

+3×

1 16 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

3n-2

4n+1

，
∴S_n=

2

3

-

3n+2

3•4n

，
∵n∈N^*，∴

3n+2

3•4n

＞0，∴S_n＜

2

3

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．