题目内容
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；
（2）当E为棱CC1的中点时，求直线A1E与平面A1BD所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角,棱柱的结构特征
专题：空间角,空间向量及应用
分析：（1）连AC，设AC∩BD=O，连A1O，OE．由已知条件推导出BD⊥面ACEA1．由此能证明A1E⊥BD．
（2）由已知条件推导出∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．∠EA1O是直线A1E与平面A1BD所成角．由此能求出直线A1E与平面A1BD所成角的正弦．
（2）由已知条件推导出∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．∠EA1O是直线A1E与平面A1BD所成角．由此能求出直线A1E与平面A1BD所成角的正弦．
解答：
（1）证明：连AC，设AC∩BD=O，连A1O，OE．
由A1A⊥面ABCD，知BD⊥A1A，又BD⊥AC，
故BD⊥面ACEA1．
由A1E?面ACEA1，得A1E⊥BD．
（2）解：在正△A1BD中，BD⊥A1O，而BD⊥A1E，
又A1O?面A1OE，A1E?平面A1OE，且A1O∩A1E=A1，
故BD⊥面A1OE，于是BD⊥OE，∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，且E为棱CC1的中点，
由平面几何知识得EO=
a，A1O=
a，A1E=3a，
满足A1E2=A1O2+EO2，故EO⊥C1O．
由EO⊥BD，知EO⊥面A1BD，
故∠EA1O是直线A1E与平面A1BD所成角．
又sin∠EA1O=
=
，
故直线A1E与平面A1BD所成角的正弦是
．
（1）证明：连AC，设AC∩BD=O，连A1O，OE．由A1A⊥面ABCD，知BD⊥A1A，又BD⊥AC，
故BD⊥面ACEA1．
由A1E?面ACEA1，得A1E⊥BD．
（2）解：在正△A1BD中，BD⊥A1O，而BD⊥A1E，
又A1O?面A1OE，A1E?平面A1OE，且A1O∩A1E=A1，
故BD⊥面A1OE，于是BD⊥OE，∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，设棱长为2a，且E为棱CC1的中点，
由平面几何知识得EO=
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满足A1E2=A1O2+EO2，故EO⊥C1O．
由EO⊥BD，知EO⊥面A1BD，
故∠EA1O是直线A1E与平面A1BD所成角．
又sin∠EA1O=
| EO |
| A1E |
| ||
| 3 |
故直线A1E与平面A1BD所成角的正弦是
| ||
| 3 |
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面甩成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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