题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0），D（1，0），过椭圆C的焦点F（
，0）且垂直于1x轴的直线与椭圆交于A，B两点，
•
=
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D的直线与椭圆C交于M，N两点，若
=2
，求直线MN的方程；
（Ⅲ）设直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，若
•
=0，求k的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| 5 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点D的直线与椭圆C交于M，N两点，若
| MD |
| DN |
（Ⅲ）设直线y=kx+2交椭圆于P，Q两点，若
| DP |
| DQ |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由已知得A（
，
），B（
，-
），由
•
=
，得
=
，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设MN：x=ty+1，代入
+y2=1，得（t2+3）y2+2ty-2=0，由
=2
，能求出直线MN的方程．
（Ⅲ）将y=kx+2代入
+y2=1，得（3k2+1）x2+12kx+9=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出k的值．
| 2 |
| b2 |
| a |
| 2 |
| b2 |
| a |
| OA |
| OB |
| 5 |
| 3 |
| b4 |
| a2 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）设MN：x=ty+1，代入
| x2 |
| 3 |
| MD |
| DN |
（Ⅲ）将y=kx+2代入
| x2 |
| 3 |
解答：
解：（Ⅰ）由已知得A（
，
），B（
，-
），
∴
•
=2-
=
，得
=
，
又a2=b2+2，∴a2=3，b2=1，
∴椭圆C的方程为
+y2=1．
（Ⅱ）若直线MN的斜率为0，则
≠2
，
若直线MN的斜率不为0，设MN：x=ty+1，
代入
+y2=1，得（t2+3）y2+2ty-2=0，
由
=2
，得y1=-2y2，
y1+y2=-y2=-
，y1y2=-2y22=-
，
整理，得-2(
)2=
，解得t=±1，
直线MN的方程：x=±y+1，
即y=x-1或y=-x+1．
（Ⅲ）将y=kx+2代入
+y2=1，得（3k2+1）x2+12kx+9=0，（*）
记P（x3，y3），Q（x4，y4），则x3+x4=-
，①，x3x4=
，②，
•
=（x3-1，y3）•（x4-1，y4）=（x3-1）（x4-1）+y3y4=0，
又y3=kx3+2，y4=kx4+2，
∴（k2+1）x3x4+（2k-1）（x3+x4）+5=0，③
将①②代入③，得：
k=-
，此时（*）中，△＞0．
∴k=-
．
| 2 |
| b2 |
| a |
| 2 |
| b2 |
| a |
∴
| OA |
| OB |
| b4 |
| a2 |
| 5 |
| 3 |
| b4 |
| a2 |
| 1 |
| 3 |
又a2=b2+2，∴a2=3，b2=1，
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 3 |
（Ⅱ）若直线MN的斜率为0，则
| MD |
| DN |
若直线MN的斜率不为0，设MN：x=ty+1，
代入
| x2 |
| 3 |
由
| MD |
| DN |
y1+y2=-y2=-
| 2t |
| t2+3 |
| 2 |
| t2+3 |
整理，得-2(
| 2t |
| t2+3 |
| -2 |
| t2+3 |
直线MN的方程：x=±y+1，
即y=x-1或y=-x+1．
（Ⅲ）将y=kx+2代入
| x2 |
| 3 |
记P（x3，y3），Q（x4，y4），则x3+x4=-
| 12k |
| 3k2+1 |
| 9 |
| 3k2+1 |
| PD |
| QD |
又y3=kx3+2，y4=kx4+2，
∴（k2+1）x3x4+（2k-1）（x3+x4）+5=0，③
将①②代入③，得：
k=-
| 7 |
| 6 |
∴k=-
| 7 |
| 6 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．
练习册系列答案
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