题目内容
8．已知F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，A，B分别为其左、右顶点．O为坐标原点，D为其上一点，DF⊥x轴．过点A的直线l与线段DF交于点E，与y轴交于点M，直线BE与y轴交于点N，若3|OM|=2|ON|，则双曲线的离心率为（ ）| A． | 3 | B． | 4 | C． | 5 | D． | 6 |
分析 设A（-a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，-3m），则直线AM：$y=\frac{2m}{a}x+2m$，直线BN：$y=\frac{3m}{a}x-3m$．由直线AM，BN的交点D（c，y），得$\frac{2mc}{a}+2m=\frac{3mc}{a}-3m$，则$\frac{c}{a}=5$，即可
解答 
解：如图，设A（-a，0），M（0，2m），B（a，0），N（0，-3m）．
则直线AM：$y=\frac{2m}{a}x+2m$，直线BN：$y=\frac{3m}{a}x-3m$．
∵直线AM，BN的交点D（c，y），
∴$\frac{2mc}{a}+2m=\frac{3mc}{a}-3m$，则$\frac{c}{a}=5$，
∴双曲线的离心率为5．
故答案为：C．
点评 本题考查了双曲线的离心率，考查了转化思想，属于中档题．
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| A． | $\frac{{{e^2}-2e-1}}{4e}$ | B． | $\frac{{{e^2}-2e}}{4e}$ | C． | $\frac{{{e^2}-e-1}}{4e}$ | D． | $\frac{{{e^2}-1}}{4e}$ |
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| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{5}{6}$ | C． | $\frac{1}{10}$ | D． | $\frac{9}{10}$ |
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| A． | 充分不必要 | B． | 必要不充分 | ||
| C． | 充要 | D． | 既不充分也不必要 |
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| A． | $m≥\frac{1}{e}$ | B． | $0＜m≤\frac{1}{e}$ | C． | $m≥\frac{1}{e^2}$ | D． | $0＜m≤\frac{1}{e^2}$ |
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| A． | $\sqrt{3}$ | B． | $\sqrt{5}$ | C． | 5 | D． | 25 |