Question

18．设曲线y=e^x-x及直线y=0所围成的图形为区域D，不等式组$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤1\\ 0≤y≤2\end{array}\right.$所确定的区域为E，在区域E内随机取一点，则该点落在区域D内的概率为（　　）

• A． $\frac{{{e^2}-2e-1}}{4e}$
• B． $\frac{{{e^2}-2e}}{4e}$
• C． $\frac{{{e^2}-e-1}}{4e}$
• D． $\frac{{{e^2}-1}}{4e}$

Answer 1

分析 首先画出图形，利用定积分求出阴影部分面积，然后利用面积比求概率．

解答 解：由题意y=e^x-x的图象以及不等式组$\left\{\begin{array}{l}-1≤x≤1\\ 0≤y≤2\end{array}\right.$所确定的区域为E如图：
区域E的面积为边长为2 的正方形的面积为4，
在此范围内区域D的面积为${∫}_{-1}^{1}（{e}^{x}-x）dx=（{e}^{x}-\frac{1}{2}{x}^{2}）{|}_{-1}^{1}=e-\frac{1}{e}$，
由几何概型的公式得到所求概率为$\frac{e-\frac{1}{e}}{4}=\frac{{e}^{2}-1}{4e}$；
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．