Question

17．已知F₁和F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在该椭圆上，且PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点A（2，0）作直线l交椭圆于不同的两点B，C，证明：不存在直线l，使得|BF₂|=|CF₂|．

Answer 1

分析 （1）通过点P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在该椭圆上且PF₁⊥x轴可知焦点坐标，利用椭圆定义可知a=$\sqrt{2}$，进而计算可得结论；
（2）利用反证法证明，假设满足题意的直线l方程为x=my+2，与椭圆方程联立，结合韦达定理及两点间距离公式化简可知当|BF₂|=|CF₂|时有m（4+3m²）=0，从而得出结论．

解答 （1）解：∵点P（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在该椭圆上，且PF₁⊥x轴，
∴椭圆方程焦点为（-1，0），（1，0），
2a=|PF₁|+|PF₂|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\sqrt{（-1-1）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，
又∵b²=a²-c²=2-1=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）证明：假设过点A（2，0）与椭圆相交的直线l的方程为：x=my+2，
并与椭圆方程联立，消去x整理得：（2+m²）y²+4my+2=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{4m}{2+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{2+{m}^{2}}$，
∵|BF₂|=|CF₂|，F₂（1，0），
∴$（{x}_{1}-1）^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=$（{x}_{2}-1）^{2}$+${{y}_{2}}^{2}$，
整理得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）=（y₂-y₁）（y₂+y₁），
化简得：（1+m²）（y₁+y₂）+2m=0，
∴（1+m²）•$\frac{4m}{2+{m}^{2}}$+2m=0，
∴m（4+3m²）=0，
解得：m=0，而此时显然|BF₂|≠|CF₂|，矛盾，
故不存在直线l，使得|BF₂|=|CF₂|．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，利用反证法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．